Эллиптические интегралы первого и второго рода онлайн

Значение в том числе и комплексное

Полный эллиптический интеграл 1 рода
Полный эллиптический интеграл 1 рода
Полный эллиптический интеграл 2 рода
Полный эллиптический интеграл 2 рода

Эллиптические интегралы впервые появились при задаче определения периметра произвольного эллипса.

В общем случае эллиптическим называется интеграл

\int R(x,y) dx

где - рациональная функция  от {tex}x{/tex} и {tex}y{/tex}, а  {tex}y^2{/tex}- многочлен третьей или четвертой степени от {tex}x{/tex}

Известны преобразования, позволяющие выразить любой эллиптический интеграл  через интеграл от рациональной функции {tex}x{/tex} и следующие три канонических интеграла.

Эллиптический интеграл первого рода

F(\varphi,k)=\int_{0}^{\varphi} \frac{ dx }{sqrt{1-k^2sin^2(t)}}

Эллиптический интеграл второго рода

E(\varphi,k)=\int_{0}^{\varphi} \sqrt{1-k^2sin^2(t)}dt

Эллиптический интеграл третьего рода

 \Pi(c; \varphi, k) = \int \limits_{0}^{\varphi}\!\frac{d\varphi}{(1+c \sin^2 \varphi) \sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}

Здесь

 {tex}\varphi{/tex} - амплитуда

 {tex}k{/tex} - модуль

 {tex}n{/tex} - параметр эллиптического интеграла(третьего рода)

Интегралы, у которых амплитуда  {tex}\varphi=\frac{\phi}{2}{/tex} называются полными. Для интегралов первого и второго рода применяются  соответственно  обозначения.

K(k)=F(\frac{\pi}{2},k)

E(k)=E(\frac{\pi}{2},k)

Используется также дополнительный модуль, равный по определению

k_1=\sqrt{1-k^2}

В таблицах эллиптических интегралов принято амплитуду выражать в градусах. Кроме того, часто величины    {tex}F, E, K, E{/tex} рассматриваются как функции модулярного угла  - угла, заменяющего модуль и выраженного в градусах:

\alpha=\frac{180}{\pi}asin(k)

Таким образом

k=sin(\alpha)

k=sin(\alpha)

При вычислении   {tex}K(k){/tex} одним из наиболее эффективных является итерационный метод арифметическо-геометрического среднего (АГС). Начиная с пары   {tex}a_0=1,b_0=k_1=cos(\alpha){/tex} находятся следующие среднее арифметическое и среднее геометрическое, которые образуют две сближающиеся последовательности:

a_1=\frac{a_0+b_0}{2}, b_1=\sqrt{a_0b_0}

a_2=\frac{a_1+b_1}{2}, b_2=\sqrt{a_1b_1}

a_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}, b_n=\sqrt{a_{n-1}b_{n-1}}

Процесс заканчивается при таком  {tex}n{/tex}  для которого  {tex}a{/tex} и  {tex}b{/tex}  совпадают. Искомое значение  {tex}K{/tex} определяется по формуле

K(k)=\frac{\pi}{2a_n}

Есть еще более простая формула, при {tex}k{/tex}   стремящегося к единице.

K(k)=ln(\frac{4}{k_1})

Вычисление полного эллиптического интеграла  второго рода производится по той же схеме что и в случае интеграла первого рода , с использованием разностей

 

{tex}c_n=\frac{a_n-b_n}{2}, n=1,2,3....{/tex} 

получаемой на каждой итерации. Тогда 

E(k)=(1-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^N2^nc_n^2)K(k)

где {tex}c_0=k{/tex} 

Бот,  рассчитывает значения полного эллиптического интеграла первого и второго рода, при любых значениях {tex}k{/tex} 

С помощью этого бота мы сможем легко определять периметр эллипса, а также длину дуги любой кривой второго порядка.

Некоторые примеры

При значении x=i

Полный эллиптический интеграл 1 рода
Полный эллиптический интеграл 1 рода
Полный эллиптический интеграл 2 рода
Полный эллиптический интеграл 2 рода

Хотелось бы заметить, что  если проверять  по данным который дает сайт www.wolframalpha.com получается что  у него  другие значения. Это связано с тем, что на том сайте, аргумент  предварительно возводится в квадрат, то есть там значения показаны для значения {tex} i^2=-1{/tex} 

 

Полный эллиптический интеграл 1 рода
Полный эллиптический интеграл 1 рода
Полный эллиптический интеграл 2 рода
Полный эллиптический интеграл 2 рода

и еще один

 

Полный эллиптический интеграл 1 рода
Полный эллиптический интеграл 1 рода
Полный эллиптический интеграл 2 рода
Полный эллиптический интеграл 2 рода

Если Вы где то обнаружили ошибку в расчетах, убедительная просьба сообщить об этом. Спасибо!!!

Удачных расчетов!

 
Copyright © 2020 AbakBot-online calculators. All Right Reserved. Author by Dmitry Varlamov