Требуется вычислить сумму

\(S_k=1^k+2^k+....+n^k\)

Рассмотрим разность  \( (m+1)^{k+1}-m^{k+1}=C_{k+1}^1m^k+C_{k+1}^2m^{k-1}+.....+1\)

Полагая последовательность \(m=0,1,2,....n\) получим равенства:

\(1^{k+1}=1\)

\(2^{k+1}-1^{k+1}=C_{k+1}^11^k+C_{k+1}^21^{k-1}+.....+1\)

\(2^{k+1}-1^{k+1}=C_{k+1}^12^k+C_{k+1}^22^{k-1}+.....+1\)

\(.......\)

\( (n+1)^{k+1}-n^{k+1}=C_{k+1}^1n^k+C_{k+1}^2n^{k-1}+.....+1\)

Сложив почленно эти равенства  получим

 \((n+1)^{k+1}=C_{k+1}^1S_k+C_{k+1}^2S_{k-1}+.....+n+1\)

 Эта рекуррентная формула позволяет вычислить сумму \(S_k\), если известны предыдущие суммы \( S_1, S_2,....,S_{k-1}

Предположив что \(k=1\)  получаем

\((n+1)^2=2S_1+n+1\) 

Отсюда следует что 

\(S_1=1+2+3+4+5+....+n=\frac{n(n+1)}{2}\)

Предположив  что \(k=2\) получаем:

\((n+1)^3=3S_2+3S_1+n+1=3S_2+3\frac{n(n+1)}{2}+n+1\)

 Таким способом мы можем высчитывать и суммы и при более высоких значениях

Если Вы хотите , то можете увидеть формулы сумм  ряда натуральных чисел в целочисленной степени до 12  включительно.

Copyright © 2020 AbakBot-online calculators. All Right Reserved. Author by Dmitry Varlamov