Разложения в ряд Фурье периодических несинусоидальных функций.

В этом новом для сайта направлении мы будем рассматривать разложение в ряд Фурье, периодических несинусоидальных функций.

Разложение в ряд

Явления, происходящие в цепях с несинусоидальными э. д. с. (токами), проще всего поддаются исследованию, если э. д. с. периодически меняющуюся, несинусоидальную - разложить на сумму постоянной составляющей и ряда из переменных слагающих, состоящего из основной синусоиды, меняющейся с таким же числом периодов, как и заданная кривая, и высших гармонических синусоид, числа периодов которых в 2, 3, 4, 5... раз больше числа периодов основной синусоиды.

Фурье показал, что всякую конечную периодическую функцию, полу-чающую одинаковые значения через равные промежутки времени

$f(t\omega)=f[\omega(t+T)]$

или

$f(\alpha)=f(\alpha+2\pi)$

можно разложить в ряд синусоидальных функций

$f(t\omega)=A_0+A_1sin(t\omega+\psi_1)+A_2sin(2t\omega+\psi_2)+A_3sin(3t\omega+\psi_3)+.....$

где

$A_0$ - амплитуда постоянной составляющих;

$A_1sin(t\omega+\psi_1)$ - основная синусоида

$A_2,A_3,A_4,...$ - амплитуды соответсвующих гармоник

$\psi_1,\psi_2,\psi_3,...$ - фазовые углы составляющих синусоид

Чаще ряд Фурье изображается в виде двойного ряда синусов и косинусов, которые в начале координат не имеют сдвига фаз:

$f(x)=A_0+B_1sin(x)+B_2sin(2x)+B_3sin(3x)+.....+C_1cos(x)+C_2cos(2x)+C_3cos(3x)+...$

В этих формулах

$A_1=\sqrt{B_1^2+C_1^2}$

$A_2=\sqrt{B_2^2+C_2^2}$

$A_3=\sqrt{B_3^2+C_3^2}$

$\frac{C_1}{B_1}=tan(\psi_1),\frac{C_2}{B_2}=tan(\psi_2),\frac{C_3}{B_3}=tan(\psi_3).....$

Если кривая симметрична относительно оси абсцисс (х), считая от начала первой и второй половины периода, то в разложении отсутствуют постоянная составляющая и гармоники четных порядков.

Если кривая вдобавок еще симметрична относительно оси ординат (у), проходящей через середину между точками пересечения кривой с осью абсцисс, то в ряду Фурье будут отсутствовать косинусоиды и ряд принимает вид:

$f(x)=A_1sin(x)+A_3sin(3x)+A_5sin(5x)+.....$

где амплитуды $A_1,A_3,A_5,...$ .. могут быть положительными или отрица¬тельными величинами.

Сигнал в виде трапеции

Функция разложения в ряд Фурье будет иметь вид

$f(x)=\frac{4A}{\alpha\pi}(sin(\alpha)sin(x)+\frac{1}{3^2}sin(3\alpha)sin(3x)+\frac{1}{5^2}sin(5\alpha)sin(5x)+....)$

Сигнал в виде прямоугольника

Функция разложения в ряд Фурье будет иметь вид

$f(x)=\frac{4A}{\pi}(sin(x)+\frac{1}{3}sin(3x)+\frac{1}{5}sin(5x)+....)$

Сигнал в виде равнобедренного треугольника cимметричного оси абсцисс

Функция разложения в ряд такого сигнала будет иметь вид

$f(x)=\frac{8A}{\pi^2}(sin(x)-\frac{1}{3^2}sin(3x)+\frac{1}{5^2}sin(5x)-....)$

СИГНАЛ В ВИДЕ РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Функция разложения в ряд такого сигнала будет иметь вид

$f(x)=\frac{A}{2}-\frac{4A}{\pi^2}(cos(x)+\frac{1}{3^2}cos(3x)+\frac{1}{5^2}cos(5x)+....)$

Сигнал в виде прямоугольного треугольника (первый вариант)

Функция разложения в ряд такого сигнала будет иметь вид

$f(x)=\frac{2A}{\pi}(sin(x)+\frac{1}{2}sin(2x)+\frac{1}{3}sin(3x)+....)$

Сигнал в виде прямоугольного треугольника (второй вариант)

Функция разложения в ряд такого сигнала будет иметь вид

$f(x)=\frac{2A}{\pi}(sin(x)-\frac{1}{2}sin(2x)+\frac{1}{3}sin(3x)-....)$

Сигнал в виде пилоообразной кривой

Функция разложения в ряд Фурье такого сигнала будет иметь вид

$f(x)=\frac{A}{2}-\frac{A}{\pi}(sin(x)+\frac{1}{2}sin(2x)+\frac{1}{3}sin(3x)+....)$

Сигнал в виде короткого прямоугольного импульса

Функция разложения в ряд Фурье такого сигнала будет иметь вид

$f(x)=A(\alpha+\frac{2}{\pi}(sin(\aplha\pi)cos(x)+\frac{1}{2}sin(2\aplha\pi)cos(2x)+\frac{1}{3}sin(3\aplha\pi)cos(3x)+..+\frac{1}{n}sin(n\aplha\pi)cos(nx)))$

Сигнал в виде короткого треугольного импульса

Функция разложения в ряд Фурье такого сигнала будет иметь вид

$f(x)=A(\alpha+\frac{2}{\pi}(sin(\aplha\pi)cos(x)+\frac{1}{2}sin(2\aplha\pi)cos(2x)+\frac{1}{3}sin(3\aplha\pi)cos(3x)+..+\frac{1}{n}sin(n\aplha\pi)cos(nx)))$

Удачных расчетов!