Основание степень и модуль, разделенные хотя бы одним пробелом |
|
Полученный результат |
Рассмотрим одну из задач часто встречающейся в арифметике и теории чисел, которую можно выразить несколькими примерами.
Какой остаток будет у следующих чисел
если их попытаться разделить на число 31?
И если первый пример можно решить на калькуляторе, так сказать " в лоб, не думая", то как Вы будете решать третий пример, это для некоторых очень не тривиальная задача.
Что же такое остаток? Остаток в данном случае - это такое число(по абсолютному значению меньше модуля!), отняв которое из исходного числа, полученный результат будет делится нацело на модуль ( в нашем примере модуль это число 31)
То есть, если обозначим остаток буквой Х получим (в первом примере ) что число делится нацело (без остатка) на модуль
Или в другой, записи более привычной
где M - модуль
Как же решать подобные задачи?
Для этого нам надо знать несколько свойств из теории чисел, которые покажем на втором примере
1.
Даже объяснять неохота, выносим -1 за "скобки" ( отдельным множителем) и можем сразу посчитать. Если степень числа (321) четная то результат равен 1, если нечетная то -1.
2.
Если число можно представить в виде двух и более сомножителей то, остаток от этого числа будет равен произведению остатков от сомножителей по этому же модулю.
3.
Прибавив или отняв от любого сомножителя целое количество модуля - остаток не изменится.
4.
Тоже ничего сложного, просто преобразовали степень. Обычное свойство степеней.
5.
Здесь мы возвели -5 в куб и воспользовались 3 правилом, прибавив к нему 4 раза модуль
6.
Воспользовавшись первым правилом, получили что наш ответ 1
То есть можем утверждать что есть целое число.
7. Последнее правило гласит, что формально, всегда существует два остатка и они равноценны. В нашем примере это 1 и -30, так как тоже целое число.
Надеюсь это небольшой пример разбора, дал Вам методику решения подобных задач.
А бот, который создан, поможет Вам легко узнавать правильность решения подобных задач или, если Вы преподаватель, легко и точно генерировать задачи для учеников.
Каждый элемент в запросе может содержать до 19 цифр ( вообще я не знаю на какой длине, могут возникнуть ошибки, но при (до) 19 символах все работает хорошо)
поэтому нет ничего страшного найти остаток вот от такого "монстра"
кто хочет может умножать на калькуляторе :)
ответ 3848922529426
Если же Вы вдруг нашли ошибку или у Вас есть пожелания или вопросы, не стесняйтесь обращайтесь Обратная связь с разработчиками бота.
Интересные факты
Утверждается, что если P - число простое то выполняется вот такое равенство
Это условие необходимое(то есть применимо ко всем простым числам) но не достаточное ( то есть есть составные числа для которых эта формула тоже действительна)
Красивое выражение было найдено пока тестировал бота ( для 2014 года) :)
На 31 мая 2018 года еще нашлось кое что интересное
Смотрите
Удачных расчетов!