Верхняя и нижняя граница корней полинома

Коэффициенты многочлена разделенные пробелами

Заданный многочлен имеет вид

Нижняя граница действительных корней многочлена

Верхняя граница действительных корней многочлена

Рассмотрим еще одну задачу связаннуюс полиномами. Когда мы пытаемся решить такое уравнение численно, то нам необходимо знать, в каких пределах могут находится действительные корни этого полинома.

Эти знания позволят нам быстрее обеспечить сходимость при компьютерных вычислениях. Это позволит при прорисовке полинома в виде графика, выбрать такой масштаб, что бы мы увидели все пересечения функции с осью абсцисс.

Итак, как же формулы мы будем использовать для решения задачи?

Если нам известен полином вида

$(x)=a_0x^{n}+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+.....+a_{n-1}x+a_n$

То разделив его на a₀мы получаем

$f(x)=x^{n}+b_1x^{n-1}+b_2x^{n-2}+.....+b_{n-1}x+b_n$

Правило утверждает, что если среди коэффицентов $b_1 b_2.....b_{n-1} b_n$ есть отрицательные числа и $b_k$ -первое из них, и также есть отрицательный коэффицент A который является самым большим (в абсолютном значении), то действительные корни этого полинома не превышают число

$max=1+\sqrt[k]{A}$

Нижнюю границу можно определить по аналогичной формуле, вычислив значения функции коэффицентов при -x

Давайте рассмотрим пример

$f(x)=3x^{5}+7x^{4}-3x^{3}+x^{2}+5x-27$

Разделим на 3 , что бы первый член полинома был равен единице.

$f(x)=x^{5}+\frac{7}{3}x^{4}-x^{3}+\frac{1}{3}x^{2}+\frac{5}{3}x-9$

Первый отрицательный коэффициент который мы встречаем это $-x^3$ он стоит на второй позиции ( $b_2=-1$ )

Значение А=9, так как 9 явлется максимальном в абсолютном выражении числом из всех отрицательных коэффициентов полинома.

Таким образом верхняя граница действительных корней $max=1+\sqrt[2]{9}=4$

Теперь определяем нижнюю границу

$f(-x)=-3x^{5}+7x^{4}+3x^{3}+x^{2}-5x-27$

Разделим полином на -3, что бы первый член полинома был равен единице.

$f(x)=x^{5}-\frac{7}{3}x^{4}-x^{3}-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{5}{3}x+9$

Первый отрицательный коэффициент который мы встречаем это $-\frac{7}{3}$ он стоит на первой позиции ( $b_1=-\frac{7}{3}$ )

Значение $A=-\frac{7}{3}$

Таким образом нижняя граница действительных корней $-min=1+\sqrt{\frac{7}{3}}$

$min=-\frac{10}{3}$

Следовательно, все действительные корни заданного многочлена находятся в пределах $[-\frac{10}{3};4]$

Бот позволяет выполнять эти вычисления автоматически и при заданных действительных коэффициентах давать правильные результаты.

Единственное замечание, не стоит вводить в качестве коэффициентов комплексные числа. Результат будет непредсказуем.

Удачных расчетов!