Узнать значение логарифма онлайн

Логарифм числа по комплексному основанию

Основание логарифма

Число

Логарифм комплексного числа по комплексному основанию

Появление логарифма

Прежде, чем мы начнем речь непосредственно о логарифмах, хотелось бы поговорить о степенях чисел и их свойствах.

Действия над степенями осуществляются по следующим правилам и они Вам должны быть хорошо известны

$умножение степеней$

$?{ab}^p=a^pb^p$

$(a^p)^q=a^{pq}$

$\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}$

$\frac{a}{b}^p=\frac{a^p}{b^p}$

где a,b,p и q -произвольные числа.

В 16 веке когда возникла насущная потребность рассчитывать многозначные числа, чаще всего для астрономии и мореплавания, возник вопрос "А можно ли заменить умножение и деление многозначных чисел на более легкие операции сложения и вычитания?"

Взглянув на выше приведенные формулы , мы замечаем что то похожее в двух формулах

$умножение степеней$ и $\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}$

Осталось теперь превратить произвольное многозначное число в число вида $a^p$

Для некоторых чисел это известно $8=2^3$ $27=3^3$ и так далее, то есть любое число можно выразить в подобном виде.

число a - называется основание степени, p-степень числа

Итак у нас все готово для того что бы мы могли "заменить" умножение сложением, а деление - вычитанием.

Для этого придуман логарифм, обладающим таким свойством что $a^{log_ab}=b$

$a^{log_ab}$

a - основание логарифма, которое равно численно основанию степени.

$8=2^3 => log_2{8}=3$

$27=3^3 =>log_3{27}=3$

Так вот, с 16-ого века, для решения задач, стали применять предварительно рассчитанные таблицы логарифов, для определенных чисел. В мои школьные годы мы использовали таблицы Брадиса.

Сейчас, при тотальной информатизации населения и товаров, наверное только наручные часы не умеют автоматически рассчитывать логарифмы.

Логарифмы обладают следующими свойствами

${log_a(uv)}=log_au+log_av$

${log_a(\frac{u}{v})}=log_au-log_av$

${log_a(u)}^k=k*log_au$

Последняя формула примечательна тем, что с помощью можно рассчитывать логарифм любого числа (кроме нуля) и любого основания, в том числе и комплексных чисел

b- это основание логарифма и оно может быть любым. Поэтому мы можем взять за основу число e=2.718... и получим что

$log_a(u)=\frac{ln(u)}{ln(a)}$

Натуральные логарифы комплексных чисел мы считать уже умеем, поэтому рассчитать логариф любого числа по любому основанию не вызовет никаких затруднений.

В основании можно кроме цифровых значений можно ввести две тестовых константы e(2.718281828459) и pi(3.1415926535898)

Если введет e - то получите значение натурального логарифма

Синтаксис

logx основание число

число - численное( комплексное выражение, произвольной формы) или число

основание - произвольное комплексное или численное выражение или какое либо значение

число и основание должны между собой быть разделены хотя бы одним пробелом.

Примеры

Рассчитать логарифм числа 2+i по основанию 3

Пишем Logx 3 2+i

Получаем ответ

Логарифм числа 2+1i

По основанию 3

Равен = 0.732486760359+0.4220302410443i

Чему равен логарифм мнимой единицы, если основание единицы тоже мнимая единица?

Пишем logx i i

Ответ не замедлит появится

Логарифм числа 0+1i

По основанию 0+1i

Равен = 1

Это и логично так как

$i^1=i$

Логарифм числа, где основание и значение являются комплексно-сопряжеными числами 1+i и 1-i соответственно

logx 1+i 1-i

Логарифм числа 1-1i

По основанию 1+1i

Равен = -0.6740320278365-0.7387021222729i

Таким образом бот помогает считать любые значения и выражения по любому основанию.

Удачи в расчетах!