| Элементы многочлена |
| Переменная X при которой находим значения производной |
|
|
| Заданная функция |
Рассмотрим одну из простых и незаслужено забытых на просторах интернета методики определения производной полинома, произвольной (положительной) степени.
До последнего был уверен, что если известен многочлен вида
=a_0x^{n}+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+.....+a_{n-1}x+a_n)
и необходимо узнать значение производной например 5 порядка в какой либо точке, необходимо сначала вычислить эту производную (пятого порядка), а потом уже подставив значение, рассчитать производную.
Оказывается есть более простой и алгоритмически легкий способ, нахождения производной в точке.
Для этого нам понадобится методика описанная в материалах: Разложить многочлен по степеням и Метод Горнера. Деление многочлена.
Да, да, оказывается метод Горнера с успехом решает поставленную задачу.
Рассмотрим пример:
Вычислить производную третьего порядка при х=3 следующего многочлена
1. Разделим заданный многочлен на
Получим =2x^2+x+4)
Число 19 есть значение функции =2x^3-5x^2+x+7)
2. Разделим
Получим =2x+7)
Так как это первая проивзодная, то умножим полученный результат на 1!(один факториал)=1. Получили то же число 25
Число 25 это значение первой производной от заданной функции при x=3. То есть если мы вычислим первую производную
=6x^2-10x+1)
3. Разделим
получим =2)
Умножим это число на 2! (два факториал) =2 и мы получим значение производной функции второго порядка при х=3
Это число =26
4. Производная третьего порядка вычисляется в данном случае просто, так как
И получим, что производная третьего порядка при заданном многочлене при x=3 равна 12.
Таким незамысловатым способом мы можем находить значения любой производной любого полинома.
Алгоритм прост, но при многочленах со степенями выше 10, мы сталкиваемся с необходимостью вычислять факториалы выше 10, что очень трудоемко, так как факториал от 10 равен 3628800, а факториал от 16 уже 20922789888000
Но нам на пользу приходит одно из свойств методики Горнера, которое гласит: Если мы умножим какую либо функцию на число то и остаток отделения возрастет во столько же раз.
Поэтому нам достаточно умножать полученные коэффиценты полинома от деления на числа 1,2,3,4,5 и т.д. в зависимости от того какую производную мы вычислем в данный момент и вычислить остаток.
Калькулятор работает и в поле комплексных чисел, поэтому решим вот такой пример.
Есть функция
=2x^7+(1-5i)x^6 -7x^4+x^3i+2x^2 -9x-1)
Необходимо узнать все возможные производные этой функции при x=i
Несложно убедится что решая это вручную, можно допустить оплошность и пойти по неверному пути.
Намного проще воспользоватся ботом и через XMPP клиент написать
propol 2 1-5i 0 -7 i 2 -9 -1;i
и мы получим все результаты
=(7-i)x^{17}+2x^{11} -ix^7+9x-5)
| Заданная функция | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
=(7-i)*x^{17}+(2)*x^{11}+(-i)*x^{7}+(9)*x^{1}+(-5)*x^{0}) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| 4 | 13006113720-5465417040i |
(17!))
где 17! это факториал от 17 = 355687428096000