Определить средние величины в поле комплексных чисел

Значения ряда, через пробел

Значения весов соответсвующих значений, через пробел

Исходные данные значение=вес

Среднее арифметическое

Среднее взвешенное арифметическое

Среднее геометрическое

Среднее взвешенное геометрическое

Среднее гармоническое

Среднее взвешенное гармоническое

Среднее квадратическое(квадратичное)

Данная статья будет посвещена тому, как рассчитываются средние величины: среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее взвешенное, среднее квадратичное и другие всевозможные средние.

Применение этих величин велико, они зримо и незримо присутствуют в математике, статистике, физике, медицине, электротехнике и в других отраслях.

СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ

Самая первое среднее, которое мы встречаем в нашей жизни это арифметическое среднее:

Петя поймал 5 рыб, а Коля 3 рыбы. Значит в среднем они поймали по 4 рыбы на каждого

С этим средним, несмотря на его важность, много несуразностей. Как эта (18+) Маша еще ни разу не целовалась с мужчиной, а на Вике пробы ставить негде. А в среднем они обе продажные женщины.

Или

Директор завода получает 500 тысяч рублей, а его девять работников по 20 тысяч. Но в среднем каждый сотрудник получает по 68 тысяч рублей ежемесячно.

Отсюда следует вывод: Арифметическое среднее может использоваться в виде качестве средних значений или центральных тенденций, только в том случае, если все значения находятся в достаточно узком диапазоне.

Как только среди исходных значений появлются пиковые (аномальные) значения, то среднее арифметическое - перестает выполнять свои функции и вносит ошибку в дальнейшие расчеты. например, по последнему примеру, чиновник может решить, что надо повысить налоги, так как зарплата в размере 68 тысяч неплохая для обычного (среднего) работника.

Формула арифетического среднего следующая

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i }{ n}$

МЕДИАНА

Более справедливый подход дает расчет медианы. Медиана рассчитывается следующим образом.

-Весь ряд выстраивается по ранжиру

-Берутся средние позиции этого ряда.

- Высчитывается среднее арифметическое этих средних позиций

Если ряд имеет четное количество значений, то берутся два средних значения, если количество нечетное, то берутся три средних значения. Но в общем случае берется какая то средняя часть из построенного ряда. Таким образом медиана позволяет отбрасывать пиковые "неправильные" значения и получать данные очень приближенные с средним арифметическим.

Пример: Дан ряд 1 2 3 5 7 8 9 92 129

Так количество значений нечетное то берем три средних значения 5 7 8 и рассчитываем среднее арифметическое.

Медина равна 6.67

А если бы считали среднее арифметическое то получили бы значение 28,44

Медиану мы рассчитывать не будем по простой причине. У меня пока нет понимания как рассчитывается медиана если ряд содержит комплексные числа. По модулю? А правильно ли это?

СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ВЗВЕШЕННОЕ

Если у каждого значения ряда есть "вес" то лучше рассчитывать не среднее арифметическое, а средне взвешенное.

$\bar{x} = \frac{ \sum\limits_{i=1}^n w_i \cdot x_i}{\sum\limits_{i=1}^n w_i}.$

x - это значения, а w - это веса этих значений

По такой формуле удобно считать например средний рост класса.

10 учеников имеют рост 170 см, 5 учеников 180, а 7 учеников 178 см.

значениями здесь является рост, а весами является количество учеников

Тогда средний рост учеников в классе будет - Средне взвешенное арифметическое 174.81818181818 сантиметров

Эта формула "сглаживает" всплески аномальных значений.

Рассмотрим пример про зарплату директора и его рабочих.

500000руб=1 работник 20000 руб = 9 работников

И увидим , что если по формуле среднего арифметического мы получили 68 тысяч рублей,

то средний заработок рассчитанный по формуле среднего средневзвешенного равен уже 23 тысячи рублей, что несомненно более приближен к реальности.

Это же среднее может использоваться и при расчете центра масс, нескольких материальных точек.

Возможно интересен будет анализ, что же рассчитывает это среднее при комплексных значениях. Может центр масс в пространстве или что то другое?

А если и веса еще комплексные??

СРЕДНЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ

Рассчитывается по следующей формуле

$\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{1/n}$

СРЕДНЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ВЗВЕШЕННОЕ

$\bar{x} = \left(\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}\right)^{1 / \sum_{i=1}^n w_i} = \quad \exp \left( \frac{1}{\sum_{i=1}^n w_i} \; \sum_{i=1}^n w_i \ln x_i \right)$

Представляете, это среднее тоже можно посчитать при комплексных значениях и весах. Ценность такого вычисления неизвестна, но ведь может :)

Да, при аномально больших значениях или весах ( пиковых) это среднее превращается в единицу.

СРЕДНЕЕ ГАРМОНИЧЕСКОЕ

В статистике среднее гармоническое применяется в случае, когда наблюдения, для которых требуется получить среднее арифметическое, заданы обратными значениями.

$https://img.abakbot.ru/cgi-bin/mathtex.cgi?A_{-1}(x_1, \ldots, x_n) =\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}$

Например, в формуле тонкой линзы удвоенное фокусное расстояние равно среднему гармоническому расстояния от линзы до предмета и расстояния от линзы до изображения. Подобным образом среднее гармоническое входит и в аналогичную формулу для сферического зеркала.

СРЕДНЕЕ ГАРМОНИЧЕСКОЕ ВЗВЕШЕННОЕ

Формула рассчитывающая среднее гармоническое взвешенное следующая

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n w_i }{ \sum_{i=1}^n \frac{w_i}{x_i}}$

x - это значения, а w - это веса этих значений

СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ

$s=\sqrt{\frac {a_1^2+ a_2^2+ \ldots+ a_n^2} {n}}$

Это формула рассчитывающее среднее квадратичное( или иногда называют квадратическое). Практически самое популярное среднее в расчетах по физике, статистике, метрологии и прочим наукам.

ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ

Даны результаты измерений

2 3 4 4.3 1.2222 9 6.01 6.432

Отдав эти данные боту мы получим вот такой ответ

Средние величины заданных значений

Среднее арифметическое 4.495525

Средне взвешенное арифметическое

Среднее геометрическое 3.8043951927999

Среднее взвешенное геометрическое

Среднее квадратическое 5.0925742120269

Среднее гармоническое 3.1164040004924

Среднее взвешенное гармоническое

Хотелось бы заметить что средне взвешенных значений тут нет, по причине отсутствия их в исходных данных.

Даны результаты с весами

Определить среднюю зарплату рабочих если известно, что 10000 евро получают 12 рабочих, 9000 евро получают 50 рабочих и 4000 евро получают 3 сотрудника

Так как считаем зарплату то, значения тут сумма заработной платы, а количество рабочих это "веса"

пишем

sred 10000=12 9000=50 4000=3

Средние величины заданных значений

Среднее арифметическое 7666.6666666667

Средне взвешенное арифметическое 8953.8461538462

Среднее геометрическое 7113.7866089812

Среднее взвешенное геометрическое 1Закрыть

Среднее квадратическое 8103.4971874282

Среднее гармоническое 6506.0240963856

Среднее взвешенное гармоническое 8660.251665433

Наш правильный ответ Средне взвешенное арифметическое = 8953.8461538462 евро

Даны шесть значений на комплексной плоскости

2-i i 0.3i-1 5i 2+8.5i -1+i Рассчитать средние значения

Средние величины заданных значений

Среднее арифметическое 0.33333333333333+2.4666666666667i

Средне взвешенное арифметическое

Среднее геометрическое 2.0202366959713+1.0779144916526i

Среднее взвешенное геометрическое

Среднее квадратическое 0.58193571939893+3.9236865124751i

Среднее гармоническое -1.3093422461629+2.4922700364827i

Среднее взвешенное гармоническое

Можете проверять, но вроде подсчитанно правильно

И последний пример комплексные значения с весами

2-i=i i=-2i 0.3i-1=2i 5i=3i 2+8.5i=5i -1+i=-i

введя данные получим ответ

Средние величины заданных значений

Среднее арифметическое 0.33333333333333+2.4666666666667i

Средне взвешенное арифметическое 1.375+6.7625i

Среднее геометрическое 2.0202366959713+1.0779144916526i

Среднее взвешенное геометрическое 1.1495572175006+0.45702774276668i

Среднее квадратическое 0.58193571939893+3.9236865124751i

Среднее гармоническое -1.3093422461629+2.4922700364827i

Среднее взвешенное гармоническое -3.9437721513849-4.8684800436893i

Удачных расчетов!