Требуется вычислить сумму
\(S_k=1^k+2^k+....+n^k\)
Рассмотрим разность \( (m+1)^{k+1}-m^{k+1}=C_{k+1}^1m^k+C_{k+1}^2m^{k-1}+.....+1\)
Полагая последовательность \(m=0,1,2,....n\) получим равенства:
\(1^{k+1}=1\)
\(2^{k+1}-1^{k+1}=C_{k+1}^11^k+C_{k+1}^21^{k-1}+.....+1\)
\(2^{k+1}-1^{k+1}=C_{k+1}^12^k+C_{k+1}^22^{k-1}+.....+1\)
\(.......\)
\( (n+1)^{k+1}-n^{k+1}=C_{k+1}^1n^k+C_{k+1}^2n^{k-1}+.....+1\)
Сложив почленно эти равенства получим
\((n+1)^{k+1}=C_{k+1}^1S_k+C_{k+1}^2S_{k-1}+.....+n+1\)
Эта рекуррентная формула позволяет вычислить сумму \(S_k\), если известны предыдущие суммы \( S_1, S_2,....,S_{k-1}
Предположив что \(k=1\) получаем
\((n+1)^2=2S_1+n+1\)
Отсюда следует что
\(S_1=1+2+3+4+5+....+n=\frac{n(n+1)}{2}\)
Предположив что \(k=2\) получаем:
\((n+1)^3=3S_2+3S_1+n+1=3S_2+3\frac{n(n+1)}{2}+n+1\)
Таким способом мы можем высчитывать и суммы и при более высоких значениях
Если Вы хотите , то можете увидеть формулы сумм ряда натуральных чисел в целочисленной степени до 12 включительно.