Требуется вычислить сумму

Sk=1k+2k+....+nkS_k=1^k+2^k+....+n^k

Рассмотрим разность  (m+1)k+1mk+1=Ck+11mk+Ck+12mk1+.....+1 (m+1)^{k+1}-m^{k+1}=C_{k+1}^1m^k+C_{k+1}^2m^{k-1}+.....+1

Полагая последовательность m=0,1,2,....nm=0,1,2,....n получим равенства:

1k+1=11^{k+1}=1

2k+11k+1=Ck+111k+Ck+121k1+.....+12^{k+1}-1^{k+1}=C_{k+1}^11^k+C_{k+1}^21^{k-1}+.....+1

2k+11k+1=Ck+112k+Ck+122k1+.....+12^{k+1}-1^{k+1}=C_{k+1}^12^k+C_{k+1}^22^{k-1}+.....+1

..............

 (n+1)k+1nk+1=Ck+11nk+Ck+12nk1+.....+1 (n+1)^{k+1}-n^{k+1}=C_{k+1}^1n^k+C_{k+1}^2n^{k-1}+.....+1

Сложив почленно эти равенства  получим

 (n+1)k+1=Ck+11Sk+Ck+12Sk1+.....+n+1(n+1)^{k+1}=C_{k+1}^1S_k+C_{k+1}^2S_{k-1}+.....+n+1

 Эта рекуррентная формула позволяет вычислить сумму SkS_k, если известны предыдущие суммы \( S_1, S_2,....,S_{k-1}

Предположив что k=1k=1  получаем

(n+1)2=2S1+n+1(n+1)^2=2S_1+n+1 

Отсюда следует что 

S1=1+2+3+4+5+....+n=n(n+1)2S_1=1+2+3+4+5+....+n=\frac{n(n+1)}{2}

Предположив  что k=2k=2 получаем:

(n+1)3=3S2+3S1+n+1=3S2+3n(n+1)2+n+1(n+1)^3=3S_2+3S_1+n+1=3S_2+3\frac{n(n+1)}{2}+n+1

 Таким способом мы можем высчитывать и суммы и при более высоких значениях

Если Вы хотите , то можете увидеть формулы сумм  ряда натуральных чисел в целочисленной степени до 12  включительно.

Copyright © 2025 AbakBot-online calculators. All Right Reserved. Author by Dmitry Varlamov