Требуется вычислить сумму
Sk=1k+2k+....+nk
Рассмотрим разность (m+1)k+1−mk+1=Ck+11mk+Ck+12mk−1+.....+1
Полагая последовательность m=0,1,2,....n получим равенства:
1k+1=1
2k+1−1k+1=Ck+111k+Ck+121k−1+.....+1
2k+1−1k+1=Ck+112k+Ck+122k−1+.....+1
.......
(n+1)k+1−nk+1=Ck+11nk+Ck+12nk−1+.....+1
Сложив почленно эти равенства получим
(n+1)k+1=Ck+11Sk+Ck+12Sk−1+.....+n+1
Эта рекуррентная формула позволяет вычислить сумму Sk, если известны предыдущие суммы \( S_1, S_2,....,S_{k-1}
Предположив что k=1 получаем
(n+1)2=2S1+n+1
Отсюда следует что
S1=1+2+3+4+5+....+n=2n(n+1)
Предположив что k=2 получаем:
(n+1)3=3S2+3S1+n+1=3S2+32n(n+1)+n+1
Таким способом мы можем высчитывать и суммы и при более высоких значениях
Если Вы хотите , то можете увидеть формулы сумм ряда натуральных чисел в целочисленной степени до 12 включительно.