x^4+ax+b=0 Решение уравнения четвертой степени онлайн

Коэффициент А

Коэффициент B

Заданный многочлен

Корни уравнения четвертой степени

Промежуточные значения

T=

E=

После того, как мы нашли частное решение уравнения четвертой степени для вида $x(x+A)(x^2+Ax+B)+C=0$ я решил продолжить изучение решений уравнения 4 степени.

И в этом материале мы рассмотрим решение очень "простого" уравнения вида $x^4+Ax+B=0$

Почему слово "простой" я поставил в кавычках. Дело в том, что внешняя простота, никак не связана с легкостью решения.

Так, например, для того что бы нам найти первый вспомогательный параметр T нам необходмо решить уравнение шестой степени $T^6-16BT^2+8A^2=0$

Да, конечно, мы заменой можем его понизить до третьей степени, но ведь в предыдущей статье, нам нам вообще не надо было решать уравнение что бы найти параметр T.

Немного успокаивает лишь то, что зная новое аналитическое(!) решение подобного кубического уравнения, нам не надо решать его ни методом Кардано, ни Виета.

Второй параметр E рассчитывается вот по такой формуле

$E=B-12(\frac{T}{4})^4$

Подставляя в аналитическую формулу данные параметры, мы легко находим все четыре корня данного уравнения.

Естественно, все это работает и в поле комплексных чисел. То есть входные данные могут быть и мнимыми числами.

Рассматривая формулу $T^6-16BT^2+8A^2=0$ мы вскоре замечаем, что это ни что иное как резольвента уравнения четвертой степени.

Это действительно так. Сделаем замену $T=sqrt(2)W$ и получаем

$8W^3-32BW+8A^2=0$

где сокращая на число 8 мы получим

$W^3-4BW+A^2=0$

что с точностью до знака повторяет формулу резольвенты.

Вот так новости, шли шли совершенно другим путем и все равно вышли на проложенную кем то дорогу. Но мы все таки не будем решать систему уравнений, как в случае классического решения при помощи резольвенты.

У нас есть другая формула и она намного красивее, удобнее и надежнее, хотя бы потому что нам не нужно в уравнении резольвенты вычислять все(!!) три корня. Достаточно взять только один, любой.

А сейчас рассмотрим несколько примеров по теме

Найти корни $x^4+5x-7=0$