Значение в том числе и комплексное |
Полный эллиптический интеграл 1 рода |
Полный эллиптический интеграл 2 рода |
Эллиптические интегралы впервые появились при задаче определения периметра произвольного эллипса.
В общем случае эллиптическим называется интеграл
где - рациональная функция от и , а - многочлен третьей или четвертой степени от
Известны преобразования, позволяющие выразить любой эллиптический интеграл через интеграл от рациональной функции и следующие три канонических интеграла.
Эллиптический интеграл первого рода
Эллиптический интеграл второго рода
Эллиптический интеграл третьего рода
Здесь
/(\varphi/) - амплитуда
/(k/) - модуль
/(n/) - параметр эллиптического интеграла(третьего рода)
Интегралы, у которых амплитуда /(\varphi=\frac{\phi}{2}/) называются полными. Для интегралов первого и второго рода применяются соответственно обозначения.
Используется также дополнительный модуль, равный по определению
В таблицах эллиптических интегралов принято амплитуду выражать в градусах. Кроме того, часто величины рассматриваются как функции модулярного угла - угла, заменяющего модуль и выраженного в градусах:
Таким образом
При вычислении одним из наиболее эффективных является итерационный метод арифметическо-геометрического среднего (АГС). Начиная с пары находятся следующие среднее арифметическое и среднее геометрическое, которые образуют две сближающиеся последовательности:
Процесс заканчивается при таком для которого и совпадают. Искомое значение определяется по формуле
Есть еще более простая формула, при стремящегося к единице.
Вычисление полного эллиптического интеграла второго рода производится по той же схеме что и в случае интеграла первого рода , с использованием разностей
получаемой на каждой итерации. Тогда
где
Бот, рассчитывает значения полного эллиптического интеграла первого и второго рода, при любых значениях
С помощью этого бота мы сможем легко определять периметр эллипса, а также длину дуги любой кривой второго порядка.
Некоторые примеры
При значении x=i
Полный эллиптический интеграл 1 рода |
Полный эллиптический интеграл 2 рода |
Хотелось бы заметить, что если проверять по данным который дает сайт www.wolframalpha.com получается что у него другие значения. Это связано с тем, что на том сайте, аргумент предварительно возводится в квадрат, то есть там значения показаны для значения
Полный эллиптический интеграл 1 рода |
Полный эллиптический интеграл 2 рода |
и еще один
Полный эллиптический интеграл 1 рода |
Полный эллиптический интеграл 2 рода |
Если Вы где то обнаружили ошибку в расчетах, убедительная просьба сообщить об этом. Спасибо!!!
Удачных расчетов!