Эллиптические интегралы первого и второго рода онлайн

Значение в том числе и комплексное

Полный эллиптический интеграл 1 рода

Полный эллиптический интеграл 2 рода

Эллиптические интегралы впервые появились при задаче определения периметра произвольного эллипса.

В общем случае эллиптическим называется интеграл

$\int R(x,y) dx$

где - рациональная функция от $x$ и $y$, а $y^2$- многочлен третьей или четвертой степени от $x$

Известны преобразования, позволяющие выразить любой эллиптический интеграл через интеграл от рациональной функции $x$ и следующие три канонических интеграла.

Эллиптический интеграл первого рода

$F(\varphi,k)=\int_{0}^{\varphi} \frac{ dx }{sqrt{1-k^2sin^2(t)}}$

Эллиптический интеграл второго рода

$E(\varphi,k)=\int_{0}^{\varphi} \sqrt{1-k^2sin^2(t)}dt$

Эллиптический интеграл третьего рода

$\Pi(c; \varphi, k) = \int \limits_{0}^{\varphi}\!\frac{d\varphi}{(1+c \sin^2 \varphi) \sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}$

Здесь

/(\varphi/) - амплитуда

/(k/) - модуль

/(n/) - параметр эллиптического интеграла(третьего рода)

Интегралы, у которых амплитуда /(\varphi=\frac{\phi}{2}/) называются полными. Для интегралов первого и второго рода применяются соответственно обозначения.

$K(k)=F(\frac{\pi}{2},k)$

$E(k)=E(\frac{\pi}{2},k)$

Используется также дополнительный модуль, равный по определению

$k_1=\sqrt{1-k^2}$

В таблицах эллиптических интегралов принято амплитуду выражать в градусах. Кроме того, часто величины $F, E, K, E$ рассматриваются как функции модулярного угла - угла, заменяющего модуль и выраженного в градусах:

$\alpha=\frac{180}{\pi}asin(k)$

Таким образом

$k=sin(\alpha)$

При вычислении $K(k)$ одним из наиболее эффективных является итерационный метод арифметическо-геометрического среднего (АГС). Начиная с пары $a_0=1,b_0=k_1=cos(\alpha)$ находятся следующие среднее арифметическое и среднее геометрическое, которые образуют две сближающиеся последовательности:

$a_1=\frac{a_0+b_0}{2}, b_1=\sqrt{a_0b_0}$

$a_2=\frac{a_1+b_1}{2}, b_2=\sqrt{a_1b_1}$

$a_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}, b_n=\sqrt{a_{n-1}b_{n-1}}$

Процесс заканчивается при таком $n$ для которого $a$ и $b$ совпадают. Искомое значение $K$ определяется по формуле

$K(k)=\frac{\pi}{2a_n}$

Есть еще более простая формула, при $k$ стремящегося к единице.

$K(k)=ln(\frac{4}{k_1})$

Вычисление полного эллиптического интеграла второго рода производится по той же схеме что и в случае интеграла первого рода , с использованием разностей

$c_n=\frac{a_n-b_n}{2}, n=1,2,3....$

получаемой на каждой итерации. Тогда

$E(k)=(1-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^N2^nc_n^2)K(k)$

где $c_0=k$

Бот, рассчитывает значения полного эллиптического интеграла первого и второго рода, при любых значениях $k$

С помощью этого бота мы сможем легко определять периметр эллипса, а также длину дуги любой кривой второго порядка.

Некоторые примеры

При значении x=i

Полный эллиптический интеграл 1 рода

$Полный эллиптический интеграл 1 рода$

Полный эллиптический интеграл 2 рода

$Полный эллиптический интеграл 2 рода$

Хотелось бы заметить, что если проверять по данным который дает сайт www.wolframalpha.com получается что у него другие значения. Это связано с тем, что на том сайте, аргумент предварительно возводится в квадрат, то есть там значения показаны для значения $ i^2=-1$

Полный эллиптический интеграл 1 рода

$Полный эллиптический интеграл 1 рода$

Полный эллиптический интеграл 2 рода

$Полный эллиптический интеграл 2 рода$

и еще один

Полный эллиптический интеграл 1 рода

$Полный эллиптический интеграл 1 рода$

Полный эллиптический интеграл 2 рода

$Полный эллиптический интеграл 2 рода$

Если Вы где то обнаружили ошибку в расчетах, убедительная просьба сообщить об этом. Спасибо!!!

Удачных расчетов!